As gregas das opções: delta, gama, teta, vega e rho

As gregas de uma opção são medidas que estimam quanto o prêmio dela varia quando um único parâmetro se move: o preço do ativo subjacente para o delta, o próprio delta para o gama, o tempo para o teta, a volatilidade implícita para o vega, as taxas de juros para o rho. Este guia retoma a definição de cada uma, liga todas ao modelo de Black e Scholes de onde elas saem e as aplica a um mesmo exemplo calculado do começo ao fim.

• Cinco medidas, uma pergunta para cada: o que acontece com o prêmio se o preço, o tempo, a volatilidade implícita ou os juros se moverem.
• Estimativas, não garantias: elas saem de um modelo e só valem com todo o resto constante.
• Elas não param de se mover: o delta muda com o preço, o teta acelera perto do vencimento.
• Nenhuma diz para onde o preço vai: elas medem uma exposição, não uma direção.

Em uma ação, uma única coisa mexe no seu resultado: o preço. Em uma opção há várias ao mesmo tempo, e elas nem sempre vão na mesma direção. Você pode acertar a direção e perder mesmo assim, porque o tempo passou ou porque a volatilidade implícita voltou a cair. As gregas servem para colocar um número em cada um desses efeitos.

Este guia não propõe nenhuma estratégia e não diz o que comprar. Ele reúne o que dizem os documentos de referência, o artigo original de Black e Scholes e um cálculo que você pode refazer, para que você saiba ler as cinco colunas de uma cadeia de opções antes de colocar dinheiro nela. Se o vocabulário básico ainda faltar, comece por o que é uma opção, call e put.

As gregas de uma opção: o que elas medem

O Options Industry Council, o site educativo da câmara de compensação americana de opções (OCC), dá o quadro geral em a página do OIC que apresenta as gregas. As mais usadas são o delta, o gama, o teta (theta, em inglês), o vega e o rho. Elas não garantem a variação exata do prêmio: são referências teóricas, que dão uma estimativa do valor de uma opção quando o ativo subjacente se move ou quando um dos componentes do preço muda.

Esses componentes são seis, segundo a mesma página: o preço da ação, o preço de exercício, o tempo até o vencimento, a volatilidade implícita, a taxa de juros e os dividendos ordinários esperados. Alguns mudam o tempo todo durante o pregão, como o preço e a volatilidade implícita. Outros, como o preço de exercício, não mudam durante toda a vida do contrato. A página do OIC sobre o preço de uma opção acrescenta uma hierarquia: os dividendos e a taxa livre de risco têm um efeito menor, pequeno mas mensurável.

As cinco gregas em uma tabela

Para uma opção vendida, todos os sinais se invertem. O restante do artigo retoma cada linha, com sua fonte e um cálculo.

O exemplo que serve de fio condutor

Para que os números conversem de uma seção para a outra, o artigo inteiro usa a mesma opção, precificada com a fórmula de Black e Scholes. Os parâmetros: uma ação a US$ 100, um preço de exercício de US$ 100, 30 dias até o vencimento, uma volatilidade de 20% ao ano, uma taxa de juros de 4% ao ano, sem dividendo, uma opção europeia. O teta é expresso por dia corrido, o vega e o rho por ponto percentual.

São valores de modelo, não cotações: uma cadeia de opções real vai mostrar outros números, porque a volatilidade implícita, os dividendos e o estilo de exercício não são os deste exemplo. A tabela serve para acompanhar o raciocínio, não para precificar um contrato.

Delta: a sensibilidade ao preço do ativo subjacente

A página do OIC dedicada ao delta o define como uma estimativa teórica da variação do prêmio para um movimento de US$ 1 no ativo subjacente. Com um delta de 0,50, pode-se esperar uma variação de cerca de US$ 0,50 no prêmio para US$ 1 de alta ou de baixa. Para uma opção comprada, o delta fica entre 0 e 1 em uma call e entre 0 e −1 em uma put.

No nosso exemplo, a call tem um delta de 0,53. Se a ação passa de US$ 100 para US$ 101, a estimativa dá 2,45 + 0,53 = US$ 2,98. O recálculo completo dá US$ 3,02. A diferença de US$ 0,04 não é um erro: enquanto o preço subia, o delta também subia. É o assunto da próxima seção.

Duas observações da mesma página. Primeiro, o delta não é fixo: quando uma call entra mais fundo no dinheiro, seu delta se aproxima de 1, e no vencimento uma opção tem delta 0 ou 1. Segundo, alguns traders leem o delta como uma probabilidade aproximada de terminar dentro do dinheiro, e uma opção no dinheiro tem um delta próximo de 0,50. É uma leitura de uso, não uma probabilidade garantida.

Gama: a velocidade com que o delta muda

Segundo a página do OIC sobre o gama, o gama é a variação esperada do delta para um movimento de US$ 1 no ativo subjacente. Uma opção comprada, call ou put, sempre tem gama positivo; uma opção vendida tem gama negativo. A ação em si não tem gama, já que seu delta vale sempre 1.

Voltemos à call. Seu gama é de 0,07: depois de US$ 1 de alta, o delta esperado é 0,53 + 0,07 = 0,60, e é isso que o recálculo a US$ 101 dá. O gama explica também a diferença vista acima: nesse dólar de alta, o delta médio foi de cerca de 0,57, não de 0,53.

A página indica onde o gama é mais alto: nas opções no dinheiro e próximas do vencimento, com um máximo quando o delta fica entre 0,40 e 0,60. O cálculo confirma isso na nossa opção, sempre no dinheiro: gama de 0,04 a 90 dias, de 0,07 a 30 dias, de 0,14 a 7 dias. Quanto mais perto do vencimento, mais bruscamente um pequeno movimento do preço muda a exposição.

Teta: o que cada dia tira do prêmio

A página do OIC sobre o teta o apresenta como o valor que o prêmio pode perder por dia, em teoria, com todos os outros fatores constantes. O exemplo dela: uma call negociada a US$ 3 com um teta de 0,05 deveria perder cerca de US$ 0,05 por dia. E se um dia passa sem que o preço da opção tenha mudado, é porque outra variável mudou, na maioria das vezes a volatilidade implícita.

O ponto mais importante dessa página é que a erosão não é linear: ela é gradual no início e depois acelera à medida que o vencimento se aproxima, e as opções no dinheiro são as mais expostas. Veja o que o cálculo dá para a nossa call, mudando apenas o número de dias restantes.

A um ano do vencimento, a call perde menos de 2 centavos por dia. A sete dias, mais de 8 centavos, ou seja, 0,084 ÷ 1,14 = 7,4% do seu valor em um único dia. Na véspera do vencimento, US$ 0,214 sobre um prêmio de US$ 0,42: a metade. É a mesma opção, sobre a mesma ação parada. A página do OIC acrescenta duas ressalvas úteis: os modelos levam em conta os fins de semana, e não existe um método comum a todo o mercado para distribuir essa erosão, de modo que duas plataformas podem mostrar dois tetas diferentes para o mesmo contrato.

Vega: a sensibilidade à volatilidade implícita

De acordo com a página do OIC sobre o vega, o vega mede a alta ou a queda do prêmio para uma variação de 1% na volatilidade implícita, isto é, um ponto. A volatilidade implícita não é a volatilidade passada: é uma medida do movimento futuro esperado, que tende a subir quando há incerteza ou um anúncio esperado e a cair nos períodos de calma. Ela pode mudar sem que o ativo subjacente se mova.

A nossa call tem um vega de 0,11. Se a volatilidade implícita passa de 20% para 21%, o recálculo dá um prêmio de US$ 2,57 em vez de US$ 2,45. No outro sentido, o efeito fala mais alto: se ela volta de 20% para 15%, o prêmio cai para US$ 1,88, ou seja, US$ 0,57 a menos e 23% do seu valor, embora a ação não tenha se movido um centavo. É o que acontece com um comprador de opções que acerta a direção mas pagou uma volatilidade alta antes de um anúncio.

A mesma página indica que as opções longas têm um vega mais alto do que as opções curtas, o que a tabela anterior mostra: 0,38 a um ano contra 0,06 a sete dias. Ela coloca a volatilidade implícita como o fator provavelmente mais importante para o preço de uma opção depois do preço do ativo subjacente.

Rho: a sensibilidade às taxas de juros

O rho é a menos observada das cinco gregas. A página do OIC sobre o rho o define como a medida da sensibilidade de uma opção às variações das taxas de juros. Ele é positivo para uma call comprada, porque juros mais altos aumentam o prêmio das calls, e negativo para uma put comprada. O exemplo da página: com um rho de 0,45 em uma call, uma taxa que passa de 3% para 4% acrescenta US$ 0,45 ao prêmio.

Por que os juros entram no preço? A página explica pelo custo de carregamento: os modelos levam em conta o custo do capital imobilizado, ou o produto de uma venda a descoberto, para proteger a posição ao longo do tempo. Ela tira daí duas regras: quanto mais alto o preço da ação e mais distante o vencimento, maior o rho em valor absoluto.

O cálculo dá a ordem de grandeza. Na nossa call de 30 dias, o rho é de 0,04: uma taxa que passa de 4% para 5% faz o prêmio subir de US$ 2,45 para US$ 2,49. Na mesma opção a um ano, o rho é de 0,52, cerca de doze vezes mais. Em uma opção curta, um dia de teta pesa, portanto, mais ou menos o mesmo que um ponto inteiro de taxa de juros. O rho conta sobretudo nas opções de vencimento distante.

Black-Scholes: o modelo de onde saem as gregas

As gregas não se observam, elas se calculam, e para isso é preciso um modelo de preço. O mais conhecido vem do artigo de Fischer Black e Myron Scholes, “The Pricing of Options and Corporate Liabilities”, publicado no Journal of Political Economy em 1973. O comunicado do prêmio do Banco da Suécia em ciências econômicas de 1997, concedido a Robert Merton e Myron Scholes, lembra que Black, morto em 1995, tinha trabalhado com eles no mesmo problema, e que Merton encontrou outra forma de chegar à fórmula e a generalizou.

O mesmo comunicado resume o que a fórmula diz: o valor de uma call é tanto mais alto quanto mais alto o preço da ação, maior sua volatilidade, mais alta a taxa livre de risco, mais distante o vencimento e mais baixo o preço de exercício. Cada grega isola um desses vínculos. A nota científica que acompanha o prêmio acrescenta um ponto-chave: todos os parâmetros se observam, menos a volatilidade, que precisa ser estimada, e, conhecendo o preço da call, pode-se fazer o caminho inverso e extrair dele a estimativa de volatilidade do mercado. É exatamente isso a volatilidade implícita.

O artigo de 1973 apresenta suas hipóteses com o nome de “condições ideais”, e vale a pena lê-las antes de confiar em um número:

• a taxa de juros de curto prazo é conhecida e constante;
• o preço da ação segue um passeio aleatório em tempo contínuo, e a variância do seu retorno é constante;
• a ação não paga nenhum dividendo;
• a opção é europeia: só pode ser exercida no vencimento;
• não há nenhum custo de transação, nem na compra nem na venda;
• é possível tomar emprestado à taxa de curto prazo, e vender a descoberto sem penalidade.

Nenhuma dessas condições se cumpre tal como está. A nota do prêmio de 1997 observa, aliás, que várias delas, que ela qualifica de um tanto restritivas, foram flexibilizadas desde então: juros e volatilidade variáveis, saltos de preço, custos de transação. A página do OIC sobre a fórmula de Black-Scholes esclarece que esse não é o único método, que as opções sobre ações de estilo americano costumam ser precificadas com um modelo binomial por causa do exercício antecipado, e sobretudo que são as forças do mercado que determinam os prêmios, não as fórmulas.

O limite mais visível está na volatilidade constante. Se o modelo fosse exato, todas as opções de um mesmo ativo subjacente mostrariam a mesma volatilidade implícita. A nota de pesquisa de Emanuel Derman e Iraj Kani, “The Volatility Smile and Its Implied Tree”, publicada pelo Goldman Sachs em 1994, descreve o que se observa no lugar disso nas opções sobre índices: desde o crash de 1987, a volatilidade implícita cai quando o preço de exercício sobe, e as puts fora do dinheiro são negociadas a uma volatilidade implícita mais alta do que as calls fora do dinheiro. Essa estrutura recebe o nome de “sorriso” de volatilidade (smile). Consequência prática: o vega de uma opção supõe que a curva inteira se move em bloco, o que o mercado nem sempre faz.

Ler as gregas de uma posição inteira

As gregas de uma cadeia de opções são dadas por ação. Mas o boletim da SEC “An Introduction to Options” lembra que, no mercado americano, um contrato de opção representa em geral 100 ações: um prêmio de US$ 2,20 equivale a US$ 220 por contrato. Para ler a sua posição, você multiplica então cada grega por 100 e pelo número de contratos, com sinal negativo para os contratos vendidos.

Com três calls do nosso exemplo, compradas: o delta da posição vale 3 × 100 × 0,53 = 159, o que quer dizer que, para um movimento pequeno, ela se comporta como 159 ações. Seu teta vale 3 × 100 × −0,044 = −US$ 13,20 por dia. Seu vega vale 3 × 100 × 0,114 = US$ 34,20 por ponto de volatilidade implícita. Três linhas de cálculo, e você sabe quanto custa um dia sem movimento e quanto custaria uma volatilidade que volta a cair.

Esses números precisam ser refeitos com frequência, porque envelhecem rápido. Uma calculadora de opções dá o resultado de uma posição no vencimento; as gregas descrevem o que acontece antes, e só são precisas para variações pequenas, uma de cada vez. Se você opera no intraday, onde o teta e o gama são mais fortes, o guia de day trade de opções detalha as consequências.

Straddle: quando as gregas se somam

O straddle é o exemplo mais simples de uma posição em que as gregas se combinam. A ficha do OIC sobre o straddle comprado o define como a compra de uma call e de uma put com o mesmo preço de exercício e o mesmo vencimento. A perda máxima é limitada aos dois prêmios pagos, e o pior cenário é um preço que não se move com uma volatilidade implícita que cai. A ficha qualifica o efeito do tempo como extremamente importante e negativo, e resume a posição como uma corrida entre a erosão do tempo e a volatilidade.

Com as nossas duas opções, o cálculo diz a mesma coisa em números. O custo é 2,45 + 2,12 = US$ 4,57 por ação, ou seja, US$ 457 por straddle. O delta é quase nulo, cerca de 0,07: a posição não tem direção no início. O gama dobra, cerca de 0,14, e o vega também, cerca de 0,23. O teta também se soma: cerca de −0,076 por dia, ou seja, US$ 7,60 por straddle e por dia sem movimento. No vencimento, a ação precisa ter terminado abaixo de 100 − 4,57 = US$ 95,43 ou acima de 100 + 4,57 = US$ 104,57 para que a posição não perca. Não é nem uma recomendação nem uma estratégia vencedora: é uma ilustração do que as gregas permitem ler antes de entrar.

Max pain: uma hipótese, não uma lei

Você vai cruzar com a expressão “max pain” assim que se interessar pelos vencimentos. A ideia: no dia do vencimento, o preço do ativo subjacente tenderia a terminar perto do preço de exercício em que mais opções vencem sem valor, portanto onde os compradores de opções mais perdem. É uma hipótese de mercado, não um resultado estabelecido, e nenhum dos documentos citados neste artigo a demonstra.

O que a pesquisa mediu é mais estreito. O estudo de Ni, Pearson e Poteshman, “Stock price clustering on option expiration dates”, publicado no Journal of Financial Economics em 2005, mostra que, nos dias de vencimento, os preços de fechamento das ações que têm opções listadas se agrupam em torno dos preços de exercício. Os autores estimam o efeito em pelo menos 16,5 pontos-base de retorno em média por data de vencimento, e o atribuem em parte ao rebalanceamento das proteções dos formadores de mercado e a manipulações de preço por traders de tesouraria.

Um agrupamento em torno dos preços de exercício não é o max pain. O estudo não diz que o preço vai em direção ao preço de exercício mais custoso para os compradores, e não fornece nenhum sinal de compra ou de venda. Já a ligação com as gregas é direta: uma proteção em delta precisa ser reajustada cada vez que o delta muda, e é perto do vencimento e perto do preço de exercício que o gama torna esse reajuste mais frequente.

O que as gregas não dizem

As gregas descrevem uma sensibilidade, não um risco total. Vale guardar três limites.

• Elas valem para uma variável de cada vez. Em um pregão de verdade, o preço, a volatilidade implícita e o tempo se movem juntos, e seus efeitos se acumulam ou se anulam.
• Elas valem para variações pequenas. Em um movimento de 10%, o delta inicial não quer dizer mais nada: ele mudou ao longo de todo o caminho.
• Elas dependem do modelo. Duas plataformas podem mostrar gregas diferentes para o mesmo contrato, conforme suas hipóteses de volatilidade, de dividendo e de juros.

O risco em si é descrito pelos reguladores, e não se lê em nenhuma grega. O boletim da SEC já citado avisa que é possível perder todo o investimento inicial, e às vezes mais: o comprador de uma opção arrisca a totalidade do prêmio pago, e o vendedor pode carregar um risco ainda maior, já que certos contratos o expõem a perdas potencialmente ilimitadas. Na França, o estudo da AMF sobre o mercado de opções sobre ações francesas, publicado em julho de 2021, escreve que a alavancagem das opções implica que os investidores estejam informados e conscientes dos riscos a que se expõem, e cita ainda os riscos de liquidez e de contraparte. No Brasil, a página do Portal do Investidor da CVM sobre derivativos destaca o risco de alavancagem.

Nos Estados Unidos, as páginas do OIC lembram que, antes de comprar ou vender uma opção, toda pessoa deve receber um exemplar do documento “Characteristics and Risks of Standardized Options”, disponível com a corretora, nas bolsas de opções ou na OCC. É o texto de referência sobre os riscos, e ele se lê antes da primeira ordem. Para colocar um método à prova sem dinheiro real, veja também o que é preciso para o backtest de opções: as gregas pesam ali tanto quanto no real.

E em um diário de trading?

O Tradoshi não calcula as gregas nem precifica opções: quem as mostra são a sua plataforma e a sua corretora. Um diário de trading serve para o passo seguinte. Ele reúne as suas operações com opções ao lado dos seus outros mercados, para que você veja nas suas próprias posições se as suas perdas vêm da direção, do tempo que passou ou de uma entrada paga caro demais. Anotar o delta e a volatilidade implícita no momento da entrada, nos seus comentários da operação, muitas vezes basta para o padrão aparecer.

Perguntas frequentes