Les grecques des options : delta, gamma, thêta, véga, rho

Les grecques d'une option sont des mesures qui estiment de combien sa prime varie quand un seul paramètre bouge : le cours du sous-jacent pour le delta, le delta lui-même pour le gamma, le temps pour le thêta, la volatilité implicite pour le véga, les taux d'intérêt pour le rho. Ce guide reprend la définition de chacune, les relie au modèle de Black et Scholes dont elles sortent, et les applique à un même exemple calculé de bout en bout.

• Cinq mesures, une question chacune : que devient la prime si le cours, le temps, la volatilité implicite ou les taux bougent.
• Des estimations, pas des garanties : elles sortent d'un modèle et ne valent que toutes choses égales par ailleurs.
• Elles bougent sans arrêt : le delta change avec le cours, le thêta accélère à l'approche de l'échéance.
• Aucune ne dit où ira le cours : elles mesurent une exposition, pas une direction.

Sur une action, une seule chose fait bouger ton résultat : le cours. Sur une option, il y en a plusieurs à la fois, et elles ne vont pas toujours dans le même sens. Tu peux avoir raison sur la direction et perdre quand même, parce que le temps a passé ou que la volatilité implicite est retombée. Les grecques servent à mettre un chiffre sur chacun de ces effets.

Ce guide ne propose aucune stratégie et ne te dit pas quoi acheter. Il rassemble ce que disent les documents de référence, l'article d'origine de Black et Scholes et un calcul que tu peux refaire, pour que tu saches lire les cinq colonnes d'une chaîne d'options avant d'y mettre de l'argent. Si le vocabulaire de base te manque encore, commence par ce qu'est une option, call et put.

Les grecques d'une option : ce qu'elles mesurent

L'Options Industry Council, le site pédagogique de la chambre de compensation américaine des options (OCC), donne le cadre dans la page de l'OIC qui présente les grecques. Les plus utilisées sont le delta, le gamma, le thêta, le véga et le rho. Elles ne garantissent pas la variation exacte de la prime : ce sont des repères théoriques, qui donnent une estimation de la valeur d'une option quand le sous-jacent bouge ou quand l'une des composantes du prix change.

Ces composantes sont au nombre de six, d'après la même page : le cours de l'action, le prix d'exercice, le temps restant jusqu'à l'échéance, la volatilité implicite, le taux d'intérêt et les dividendes ordinaires attendus. Certaines changent en permanence pendant la séance, comme le cours et la volatilité implicite. D'autres, comme le prix d'exercice, ne changent pas de toute la vie du contrat. La page de l'OIC sur le prix d'une option ajoute une hiérarchie : les dividendes et le taux sans risque ont un effet moindre, faible mais mesurable.

Les cinq grecques en un tableau

Pour une option vendue, tous les signes s'inversent. Le reste de l'article reprend chaque ligne, avec sa source et un calcul.

L'exemple qui sert de fil rouge

Pour que les chiffres se répondent d'une section à l'autre, tout l'article utilise la même option, valorisée avec la formule de Black et Scholes. Les paramètres : une action à 100 $, un prix d'exercice de 100 $, 30 jours avant l'échéance, une volatilité de 20 % par an, un taux d'intérêt de 4 % par an, pas de dividende, une option européenne. Le thêta est exprimé par jour calendaire, le véga et le rho par point de pourcentage.

Ce sont des valeurs de modèle, pas des cotations : une chaîne d'options réelle affichera d'autres chiffres, parce que la volatilité implicite, les dividendes et le style d'exercice ne sont pas ceux de cet exemple. Le tableau sert à suivre le raisonnement, pas à valoriser un contrat.

Delta : la sensibilité au cours du sous-jacent

La page de l'OIC consacrée au delta le définit comme une estimation théorique de la variation de la prime pour un mouvement de 1 $ du sous-jacent. Avec un delta de 0,50, on peut s'attendre à une variation d'environ 0,50 $ de la prime pour 1 $ de hausse ou de baisse. Pour une option achetée, le delta est compris entre 0 et 1 pour un call, entre 0 et −1 pour un put.

Dans notre exemple, le call a un delta de 0,53. Si l'action passe de 100 $ à 101 $, l'estimation donne 2,45 + 0,53 = 2,98 $. Le recalcul complet donne 3,02 $. L'écart de 0,04 $ n'est pas une erreur : pendant que le cours montait, le delta montait lui aussi. C'est le sujet de la section suivante.

Deux précisions de la même page. D'abord, le delta n'est pas fixe : quand un call s'enfonce dans la monnaie, son delta se rapproche de 1, et à l'échéance une option a un delta de 0 ou de 1. Ensuite, certains traders lisent le delta comme une probabilité approximative de finir dans la monnaie, une option à la monnaie ayant un delta proche de 0,50. C'est une lecture d'usage, pas une probabilité garantie.

Gamma : la vitesse à laquelle le delta change

Selon la page de l'OIC sur le gamma, le gamma est la variation attendue du delta pour un mouvement de 1 $ du sous-jacent. Une option achetée, call ou put, a toujours un gamma positif ; une option vendue a un gamma négatif. L'action elle-même n'en a pas, puisque son delta vaut toujours 1.

Reprenons le call. Son gamma est de 0,07 : après 1 $ de hausse, le delta attendu est de 0,53 + 0,07 = 0,60, et c'est bien ce que donne le recalcul à 101 $. Le gamma explique aussi l'écart vu plus haut : sur ce dollar de hausse, le delta moyen était d'environ 0,57, pas de 0,53.

La page précise où le gamma est le plus fort : sur les options à la monnaie et proches de l'échéance, avec un maximum quand le delta se situe entre 0,40 et 0,60. Le calcul le confirme sur notre option, toujours à la monnaie : gamma de 0,04 à 90 jours, de 0,07 à 30 jours, de 0,14 à 7 jours. Plus l'échéance approche, plus un petit mouvement du cours change brutalement l'exposition.

Thêta : ce que chaque jour retire à la prime

La page de l'OIC sur le thêta le présente comme le montant que la prime peut perdre par jour, en théorie, tous les autres facteurs restant identiques. Son exemple : un call qui cote 3 $ avec un thêta de 0,05 devrait perdre environ 0,05 $ par jour. Et si un jour passe sans que le prix de l'option ait bougé, c'est qu'une autre variable a changé, le plus souvent la volatilité implicite.

Le point le plus important de cette page est que l'érosion n'est pas linéaire : elle est progressive au début, puis elle accélère à mesure que l'échéance approche, et ce sont les options à la monnaie qui y sont le plus exposées. Voici ce que donne le calcul pour notre call, en ne changeant que le nombre de jours restants.

À un an de l'échéance, le call perd moins de 2 cents par jour. À sept jours, plus de 8 cents, soit 0,084 ÷ 1,14 = 7,4 % de sa valeur en une journée. La veille de l'échéance, 0,214 $ sur une prime de 0,42 $ : la moitié. C'est la même option, sur la même action immobile. La page de l'OIC ajoute deux réserves utiles : les modèles tiennent compte des week-ends, et il n'existe pas de méthode commune à toute l'industrie pour répartir cette érosion, si bien que deux plateformes peuvent afficher deux thêtas différents pour le même contrat.

Véga : la sensibilité à la volatilité implicite

D'après la page de l'OIC sur le véga, le véga mesure la hausse ou la baisse de la prime pour une variation de 1 % de la volatilité implicite, c'est-à-dire un point. La volatilité implicite n'est pas la volatilité passée : c'est une mesure du mouvement futur attendu, qui tend à monter quand il y a de l'incertitude ou une annonce attendue et à retomber dans les périodes calmes. Elle peut changer sans que le sous-jacent bouge.

Notre call a un véga de 0,11. Si la volatilité implicite passe de 20 % à 21 %, le recalcul donne une prime de 2,57 $ au lieu de 2,45 $. Dans l'autre sens, l'effet est plus parlant : si elle retombe de 20 % à 15 %, la prime tombe à 1,88 $, soit 0,57 $ de moins et 23 % de sa valeur, alors que l'action n'a pas bougé d'un cent. C'est ce qui arrive à un acheteur d'options qui a raison sur la direction mais qui a payé une volatilité élevée avant une annonce.

La même page indique que les options longues ont un véga plus élevé que les options courtes, ce que montre le tableau précédent : 0,38 à un an contre 0,06 à sept jours. Elle range la volatilité implicite comme le facteur probablement le plus important pour le prix d'une option après le cours du sous-jacent.

Rho : la sensibilité aux taux d'intérêt

Le rho est la moins regardée des cinq grecques. La page de l'OIC sur le rho le définit comme la mesure de la sensibilité d'une option aux variations des taux d'intérêt. Il est positif pour un call acheté, parce que des taux plus élevés augmentent la prime des calls, et négatif pour un put acheté. L'exemple de la page : avec un rho de 0,45 sur un call, un taux qui passe de 3 % à 4 % ajoute 0,45 $ à la prime.

Pourquoi les taux entrent-ils dans le prix ? La page l'explique par le coût de portage : les modèles tiennent compte du coût du capital immobilisé, ou du produit d'une vente à découvert, pour couvrir la position dans le temps. Elle en tire deux règles : plus le cours de l'action est élevé et plus l'échéance est lointaine, plus le rho est grand en valeur absolue.

Le calcul donne l'ordre de grandeur. Sur notre call à 30 jours, le rho est de 0,04 : un taux qui passe de 4 % à 5 % fait monter la prime de 2,45 $ à 2,49 $. Sur la même option à un an, le rho est de 0,52, environ douze fois plus. Sur une option courte, une journée de thêta pèse donc à peu près autant qu'un point entier de taux d'intérêt. Le rho compte surtout pour les options à échéance lointaine.

Black-Scholes : le modèle d'où sortent les grecques

Les grecques ne s'observent pas, elles se calculent, et il faut pour cela un modèle de prix. Le plus connu vient de l'article de Fischer Black et Myron Scholes, « The Pricing of Options and Corporate Liabilities », paru dans le Journal of Political Economy en 1973. Le communiqué du prix de la Banque de Suède en sciences économiques de 1997, attribué à Robert Merton et Myron Scholes, rappelle que Black, mort en 1995, avait travaillé avec eux sur le même problème, et que Merton a trouvé une autre façon d'établir la formule et l'a généralisée.

Le même communiqué résume ce que dit la formule : la valeur d'un call est d'autant plus élevée que le cours de l'action est haut, que sa volatilité est forte, que le taux sans risque est élevé, que l'échéance est lointaine et que le prix d'exercice est bas. Chaque grecque isole l'un de ces liens. La note scientifique qui accompagne le prix ajoute un point clé : tous les paramètres s'observent sauf la volatilité, qu'il faut estimer, et si l'on connaît le prix du call on peut à l'inverse en tirer l'estimation de volatilité du marché. C'est exactement ce qu'est la volatilité implicite.

L'article de 1973 pose ses hypothèses sous le nom de « conditions idéales », et il vaut la peine de les lire avant de se fier à un chiffre :

• le taux d'intérêt à court terme est connu et constant ;
• le cours de l'action suit une marche aléatoire en temps continu, et la variance de son rendement est constante ;
• l'action ne verse aucun dividende ;
• l'option est européenne : elle ne s'exerce qu'à l'échéance ;
• il n'y a aucun frais de transaction, ni à l'achat ni à la vente ;
• on peut emprunter au taux court terme, et vendre à découvert sans pénalité.

Aucune de ces conditions n'est remplie telle quelle. La note du prix de 1997 relève d'ailleurs que plusieurs d'entre elles, qu'elle qualifie d'assez restrictives, ont été assouplies depuis : taux et volatilité variables, sauts de prix, frais de transaction. La page de l'OIC sur la formule de Black-Scholes précise que ce n'est pas la seule méthode, que les options sur actions de style américain sont en général valorisées avec un modèle binomial à cause de l'exercice anticipé, et surtout que ce sont les forces du marché qui déterminent les primes, pas les formules.

La limite la plus visible porte sur la volatilité constante. Si le modèle était exact, toutes les options d'un même sous-jacent afficheraient la même volatilité implicite. La note de recherche d'Emanuel Derman et Iraj Kani, « The Volatility Smile and Its Implied Tree », publiée par Goldman Sachs en 1994, décrit ce qu'on observe à la place sur les options d'indices : depuis le krach de 1987, la volatilité implicite baisse quand le prix d'exercice monte, et les puts hors de la monnaie se traitent à une volatilité implicite plus élevée que les calls hors de la monnaie. Cette structure porte le nom de « smile » de volatilité. Conséquence pratique : le véga d'une option suppose que toute la courbe bouge d'un bloc, ce que le marché ne fait pas toujours.

Lire les grecques d'une position entière

Les grecques d'une chaîne d'options sont données par action. Or le bulletin de la SEC « An Introduction to Options » rappelle qu'un contrat d'option porte en général sur 100 actions : une prime de 2,20 $ représente 220 $ par contrat. Pour lire ta position, tu multiplies donc chaque grecque par 100 et par le nombre de contrats, avec un signe négatif pour les contrats vendus.

Avec trois calls de notre exemple, achetés : le delta de la position vaut 3 × 100 × 0,53 = 159, ce qui veut dire que pour un petit mouvement elle se comporte comme 159 actions. Son thêta vaut 3 × 100 × −0,044 = −13,20 $ par jour. Son véga vaut 3 × 100 × 0,114 = 34,20 $ par point de volatilité implicite. Trois lignes de calcul, et tu sais ce que te coûte une journée sans mouvement et ce que te coûterait une volatilité qui retombe.

Ces chiffres sont à refaire souvent, parce qu'ils se périment vite. Un calculateur d'option te donne le résultat d'une position à l'échéance ; les grecques décrivent ce qui se passe avant, et elles ne sont justes que pour de petites variations, une à la fois. Si tu trades à la journée, où le thêta et le gamma sont au plus fort, le guide du day trading sur options en détaille les conséquences.

Straddle : quand les grecques s'additionnent

Le straddle est l'exemple le plus simple d'une position où les grecques se combinent. La fiche de l'OIC sur le straddle acheté le définit comme l'achat d'un call et d'un put de même prix d'exercice et de même échéance. La perte maximale est limitée aux deux primes payées, et le pire scénario est un cours qui ne bouge pas avec une volatilité implicite qui baisse. La fiche qualifie l'effet du temps d'extrêmement important et négatif, et résume la position comme une course entre l'érosion du temps et la volatilité.

Avec nos deux options, le calcul dit la même chose en chiffres. Le coût est de 2,45 + 2,12 = 4,57 $ par action, soit 457 $ par straddle. Le delta est presque nul, environ 0,07 : la position n'a pas de direction au départ. Le gamma double, environ 0,14, et le véga aussi, environ 0,23. Le thêta s'additionne lui aussi : environ −0,076 par jour, soit 7,60 $ par straddle et par jour sans mouvement. À l'échéance, il faut que l'action ait fini sous 100 − 4,57 = 95,43 $ ou au-dessus de 100 + 4,57 = 104,57 $ pour que la position ne perde pas. Ce n'est ni une recommandation ni une stratégie gagnante : c'est une illustration de ce que les grecques permettent de lire avant d'entrer.

Max pain : une hypothèse, pas une loi

Tu croiseras l'expression « max pain » dès que tu t'intéresseras aux échéances. L'idée : le jour de l'expiration, le cours du sous-jacent aurait tendance à finir près du prix d'exercice où le plus grand nombre d'options expirent sans valeur, donc là où les acheteurs d'options perdent le plus. C'est une hypothèse de marché, pas un résultat établi, et aucun des documents cités dans cet article ne la démontre.

Ce que la recherche a mesuré est plus étroit. L'étude de Ni, Pearson et Poteshman, « Stock price clustering on option expiration dates », parue dans le Journal of Financial Economics en 2005, montre que, les jours d'expiration, les cours de clôture des actions qui ont des options cotées se regroupent autour des prix d'exercice. Les auteurs chiffrent l'effet à au moins 16,5 points de base de rendement en moyenne par date d'expiration, et l'attribuent en partie au rééquilibrage des couvertures des teneurs de marché et à des manipulations de cours par des traders pour compte propre.

Un regroupement autour des prix d'exercice n'est pas le max pain. L'étude ne dit pas que le cours va vers le prix d'exercice le plus coûteux pour les acheteurs, et elle ne fournit aucun signal d'achat ou de vente. Le lien avec les grecques est en revanche direct : une couverture en delta doit être réajustée chaque fois que le delta change, et c'est près de l'échéance et près du prix d'exercice que le gamma rend ce réajustement le plus fréquent.

Ce que les grecques ne disent pas

Les grecques décrivent une sensibilité, pas un risque total. Trois limites sont à garder en tête.

• Elles valent une variable à la fois. Dans une vraie séance, le cours, la volatilité implicite et le temps bougent ensemble, et leurs effets se cumulent ou s'annulent.
• Elles valent pour de petites variations. Sur un mouvement de 10 %, le delta du départ ne veut plus rien dire : il a changé tout le long du chemin.
• Elles dépendent du modèle. Deux plateformes peuvent afficher des grecques différentes pour le même contrat, selon leurs hypothèses de volatilité, de dividende et de taux.

Le risque lui-même est décrit par les régulateurs, et il ne se lit dans aucune grecque. Le bulletin de la SEC déjà cité prévient qu'il est possible de perdre tout son investissement initial, et parfois davantage : l'acheteur d'une option risque la totalité de la prime payée, et le vendeur peut porter un risque plus élevé encore, certains contrats l'exposant à des pertes potentiellement illimitées. En France, l'étude de l'AMF sur le marché des options sur actions françaises, publiée en juillet 2021, écrit que l'effet de levier des options implique que les investisseurs soient informés et conscients des risques auxquels ils s'exposent, et cite en plus les risques de liquidité et de contrepartie. Au Brésil, la page du portail de l'investisseur de la CVM sur les dérivés met en avant le risque lié à l'effet de levier.

Aux États-Unis, les pages de l'OIC rappellent qu'avant d'acheter ou de vendre une option, toute personne doit recevoir un exemplaire du document « Characteristics and Risks of Standardized Options », disponible auprès de son courtier, des bourses d'options ou de l'OCC. C'est le texte de référence sur les risques, et il se lit avant le premier ordre. Pour mettre une méthode à l'épreuve sans argent réel, vois aussi ce qu'il faut pour backtester une stratégie d'options : les grecques y pèsent autant que dans le réel.

Et dans un journal de trading ?

Tradoshi ne calcule pas les grecques et ne valorise pas d'options : ce sont ta plateforme et ton courtier qui les affichent. Un journal de trading sert à l'étape d'après. Il réunit tes trades d'options aux côtés de tes autres marchés, pour que tu voies sur tes propres positions si tes pertes viennent de la direction, du temps qui a passé ou d'une entrée payée trop cher. Noter le delta et la volatilité implicite au moment de l'entrée, dans tes commentaires de trade, suffit souvent à faire apparaître le schéma.

Questions fréquentes